RUANG EUCLID DAN RUANG HERMIT SERTA HUBUNGAN KEDUANNYA
A. Ruang Euclid
Berdasarkan definisi 2.4 : ruang euclid merupakan ruang vektor atas himpunan semua bilangan nyata dengan produk skalar yang definit positif.
Definit positif merupakan produk skalar pada V yang jika
1. <v,v> 0, v V, dan
2. <v,v> > 0, v 0.
Dimana produk skalar (hasil kali skalar) pada v merupakan suatu perkawanan yang mana untuk setiap pasangan elemen-elemen v, w V dihubungkan dengan suatu skalar dalam R, yang dituliskan dengan <v,w> atau v.w yang memenuhi sifat-sifat sebagai berikut :
1. <v,w> = <w,v>, v,w V
2. u,v,w V <u,v+w> = <u,v> + <u,w>
3. x R ,u,v V <xu,v> = <u,xv> = x.<u,v>
dimana R = himpunan semua bilangan nyata.
B. Ruang Hermit
Berdasarkan definisi 2.10 : ruang hermit (Hermitan vector space) merupakan ruang vektor atas himpunan semua bilangan kompleks dengan produk hermit yang definit positif. Jadi dapat disimpulkan bahwa ruang Euclid merupakan ruang Hermit.
Definit positif merupakan produk Hermit pada V yang jika
1. <v,v> 0, v V, dan
2. <v,v> > 0, v 0.
Dimana produk skalar (hasil kali skalar) pada v merupakan suatu perkawanan yang mana untuk setiap pasangan elemen-elemen v, w V dihubungkan dengan suatu bilangan kompleks, yang dituliskan dengan <v,w> yang memenuhi sifat-sifat sebagai berikut :
1. <v,w> = , v V , dimana merupakan bilangan kompleks sekawan
2. u,v,w V <u,v+w> = <u,v> + <u,w>
3. C < u,v> = <u, v> = .<u,v>
C. Hubungan ruang Euclid dan ruang Hermit
Perhatikan bahwa jika dan pada ruang hermit merupakan bilangan nyata, maka = <v,w> dan = . Jadi definisi produk Hermit pada V di atas sesuai dengan definisi produk skalar pada V (dimana V = ruang vektor atas field (lapangan) R). Karena R C, maka produk skalar pada V adalah subset dari produk Hermit. Jadi produk skalar pada V pasti produk Hermit.
0 komentar: